一元一次方程分类 一元一次方程分类题型

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1、标准形式一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a,b为常数,x为未知数,且a≠0）.其中a是未知数的系数,b是常数,x是未知数.未知数一般设为x,y,z.方程特点（1）该方程为整式方程.（2）该方程有且只含有一个未知数.（3）该方程中未知数的次数是1.满足以上三点的方程,就是一元一次方程.判断方法要判断一个方程是否为一元一次方程,先看它是否为整式方程.若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax+b=0（a≠0）的形式,则这个方程就为一元一次方程.里面要有等号,且分母里不含未知数.变形公式ax=b（a,b为常数,x为未知数,且a≠0）求根公式x=-b/a通常解法去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.两种类型（1）总量等于各分量之和.将未知数放在等号左边,常数放在右边.如：x+2x+3x=6.（2）等式两边都含未知数.如：300x+400=400x,40x+20=60x[1].方程举例2a=4a-63b=-1x=1都是一元一次方程.方程起源“方程”一词来源于古算术书《九章算术》.在这本著作中,已经列出了一元一次方程.法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程.在19世纪以前,方程一直是代数的核心内容.主要用途一元一次方程通常可用于做应用题,如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、球赛积分表问题、电话（水表、电表）计费问题、数字问题等.[2]2补充说明合并同类项（1）依据：乘法分配律（2）把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项；常数计算后合并成一项（3）合并时次数不变,只是系数相加减.移项（1）依据：等式的性质1（2）含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边.（3）把方程一边某项移到另一边时,一定要变号（如：移项时将+改为-,×改为÷）.等式性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立.等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）,等式仍然成立.等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方）,等式仍然成立.解方程都是依据等式的这三个性质.3解法步骤：解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.解法：（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的小公倍数（不含分母的项也要乘）；依据：等式的性质2（2）去括号：一般先去小括号,再去中括号,后去大括号,可根据乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）依据：乘法分配律（3）移项：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边,而把常数项移到右边）依据：等式的性质1（4）合并同类项：把方程化成ax=b（a≠0）的形式；依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）（5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a.依据：等式的性质2.同解方程：如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程.同解原理：（1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程.（2）方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程.求根公式：由于一元一次方程是基本方程,故教科书上的解法只有上述的方法.但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0（a≠0）.可得出求根公式x=-b/a.函数解法：由于一元一次函数都可以转化为ax+b=0（a,b为常量,a≠0）的形式,所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个函数值为0时,求相应的自变量的值.从图像上看,这就相当于求直线y=kx+b（k,b为常量,k≠0）与x轴交点的横坐标的值.解法举例（1）题目：已知ax=b是关于x的一元一次方程（a、b为常数）,求x的值.分析：要牢牢抓住一元一次方程的定义,进行分类讨论.当a≠0时,x=b/a.当a=0,b=0时,方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程）当a=0,b≠0时,方程无解（注意：此种情况也不属于一元一次方程）（2）题目：解方程（3x+1）/2-2=（3x-2）/10-（2x+3）/5分析：按照一元一次方程的解法顺序一步步进行,计算要细心.去分母（方程两边同乘各分母的小公倍数,这里同乘10）得：5（3x+1）-10×2=（3x-2）-2（2x+3）去括号得：15x+5-20=3x-2-4x-6移项得：15x-3x+4x=-2-6-5+20合并同类项得：16x=7系数化为1得：x=7/16.检验：当x=7/16时,左边=（3×7/16+1）/2-2=（21/16+1）/2-2=37/32-2=-27/32右边=（3×7/16-2）/10-（2×7/16+3）/5=-11/160-62/80=-135/160=-27/32左边=右边∴x=7/16是原方程的根∴原方程的根是x=7/16等式性质：若a=b,则a+c=b+c,a-c=b-c（等式的性质1）.若a=b,则ac=bc,a÷c=b÷c（c≠0）（等式的性质2）[3]4解应用题做一元一次方程应用题的重要方法：（1）认真审题（审题）（2）分析已知和未知量（3）找一个合适的等量关系（4）设一个恰当的未知数（5）列出合理的方程 （列式）（6）解出方程（解题）（7）检验（8）写出（作答）5学习实践在小学会学习较浅的一元一次方程,到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题.一元一次方程牵涉到许多的实际问题,例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题.列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含有未知数的等式,即方程（equation）.例如：（1）4x=24（2）1700+150x=2450（3）0.52x-（1-0.52）x=80分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.。

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